Datenbank des nutzlosen Wissens
  • NEU: Backstage-Area
    Unter der »Trisektion« versteht man die Teilung eines beliebigen Winkels in drei genau gleich große Teile mit Hilfe von Zirkel und Lineal. - Diese geometrische Übung ist erwiesenermaßen unlösbar.

    Rechtschreibfehler gefunden? Merke dir das Datum und korrigiere den Beitrag in der Backstage-Area
  •  ← vorher (08.08.2003)nachher (10.08.2003) →
  •  
  • Sende neue Fakten bitte per E-Mail an wissen@schoelnast.at
  •  
  • Kommentar von Fabian Leuschner:
    (von Facebook dupliziert)
    wenn man einen strich zeichnet (180°) und dann zweimal 60° abträgt hat man dies aber geschafft, also doch lösbar
  • Antwort von Timmy Ritter:
    (von Facebook dupliziert)
    Es geht dabei aber um einen beliebigen (zahlenmäßig nicht unbedingt bekannten) Winkel.
  • Antwort von Sabrina Taudes:
    (von Facebook dupliziert)
    Auch 60° kannst du mit einem Lineal und einem Zirkel nicht abtragen. Lineal, nicht Geodreieck.
  • Antwort von Stefan Duf:
    (von Facebook dupliziert)
    60° sind kein Problem: einen Halbkreis mit Mittelpunkt auf der Linie, dann mit dem selben Radius an den Schnittpunkten des Kreises mit der Linie einen weiteren Kreis. Die Schnittpunkte dieser Kreise mit dem ersten Kreis ergeben 60°-Winkel, wenn man sie mit dem Mittelpunkt des ersten Kreises verbindet. Geht aber nur mit 60°, nicht mit beliebigen Winkeln.
  • Antwort von Oliver Franke:
    (von Facebook dupliziert)
    60 und auch 90 Grad gehen recht einfach. Das Problem bei der Trisektion ist eigentlich, und das fehlt oben, dass das Lineal nicht skaliert sein darf. Damit ist es Allgemein nicht möglich exakte Lösungen zu generieren. Quasi grafische Numerik^^
  • Antwort von Henning Cts:
    (von Facebook dupliziert)
    in der aufgabe ist doch ein beliebiger winkel angegeben also auch 60 oder 90 oder etwa net
  • Antwort von Timmy Ritter:
    (von Facebook dupliziert)
    Die Aufgabe sagt, dass es für JEDEN Winkel funktionieren soll. Es geht aber nur bei einer relativ geringen Zahl von Winkeln.
  • Antwort der Redaktion:
    (von Facebook dupliziert)
    @Ste Duf & Fabian Leuschner: 180° in 3 x 60° zu teilen ist eine der leichtesten Aufgaben, die man mit Zirkel und Lineal lösen kann.

    Aber es ist nicht möglich in endlich vielen Schritten die 60° weiter in drei gleiche Teile á 20° zu teilen. Denn der Winkel 20° gehört zu den Winkeln, die man - egal wie man es auch versucht - mit Zirkel und (unskaliertem) Lineal nicht in endlich vielen Schritten konstruieren kann. Beliebig gute Näherungen sind natürlich möglich, aber mathematisch genau 20° sind nicht möglich.

    Das Problem ist eng verwandt mit der Fragestellung, welche regelmäßigen Vielecke (Polygone) konstruierbar sind. Das wiederum ist identisch mit der Aufgabe den vollen Kreis in n gleiche Teile zu teilen wobei n eine natürliche Zahl ist. Das ist nur möglich, wenn n das Produkt aus einer Potenz von 2 (also 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...) und beliebig vielen unterschiedlichen (!) fermatschen Primzahlen ist. Zwei oder mehr gleiche fermatsche Primzahlen im Produkt (also Potenzen dieser Zahlen) machen die Konstruktion unmöglich, ebenso alle Primzahlen die keine fermatschen Primzahlen sind. Fermatschen Primzahlen sind Primzahlen, die mit der Formel »2 hoch (2 hoch x) + 1« darstellbar sind. Die ersten fünf fermatschen Primzahlen sind 3, 5, 17, 257 und 65537. Es ist nicht bekannt, ob die Formel 2 hoch (2 hoch x) + 1 außer den genannten fünf Primzahlen noch weiter Primzahlen liefert (wenn, dann haben sie weit über 1000 Dezimalstellen)

    18 ist das Produkt von 2, 3 und 3. 3 ist zwar eine fermatsche Primzahl, aber im Produkt darf jede fermatsche Primzahl nur einmal vorkommen. 3 und 3 sind aber nicht zwei VERSCHIEDENE fermatsche Primzahlen, sondern zwei identische. Daher ist 18 eine Zahl, für die man kein regelmäßiges n-Eck (also ein Achtzehneck) konstruieren kann. Und weil 360°/18 = 20° kann man den Winkel 20° nicht konstruieren.

    Wenn man ein regelmäßiges Polygon mit einer ungeraden Anzahl von Ecken konstruieren möchte, dann geht das nur mit diesen 31 Eckenzahlen:
    3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537, 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765 und 4294967295
    Will man ein Polygon mit einer geraden Anzahl von Ecken konstruieren, dass muss, wenn man die Ecken-Anzhal so oft durch 2 teilt wie nur möglich, entweder 1 oder eine dieser 31 ungeraden Zahlen herauskommen.

    Daraus folgt, dass man nur solche Winkel konstruieren kann (egal auf welchem Weg, solange man das nur mit einem Zirkel und einem Lineal macht), die mit einer der genannten Zahlen multipliziert 360° ergeben.
  • Antwort der Redaktion:
    (von Facebook dupliziert)
    Ich habe bei meinem gestrigen Kommentar an einer Stelle ziemlich untertrieben (das ist mir erst im Bett eingefallen), nämlich bei der Anzahl der Stellen der sechsten fermatschen Primzahl (falls es überhaupt mehr als fünf gibt)

    Wenn man in die Formel »2 hoch (2 hoch x) plus 1« nacheinander für x die Zahlen 0, 1, 2, 3 und 4 einsetzt, erhält man die Ergebnisse 3, 5, 17, 257 und 65537. Man nennt diese Zahlen daher auch die Fermatzahlen F0, F1, F2, F3 und F4. Diese fünf Zahlen sind alle prim, man nennt sie daher auch die fermatschen Primzahlen.

    Setzt man in die Formel für x die Zahl 5 ein, erhält man die Fermatzahl F5, die den Wert 4294967297 hat. Das ist aber keine Primzahl. F5 ist eine zusammengesetzte Zahl: 4294967297 = 641 · 6700417.

    Man weiß von allen Fermat-Zahlen von F5 bis F32 dass sie zusammengesetzt sind. Man kennt nämlich von allen diesen Zahlen mindestens einen Prim-Teiler außer von F20 und F24. Bei diesen beiden weiß man aber aufgrund eines Primzahltests dass die nicht prim sein können. (Die Suche nach den Primteilern läuft, es sind sogar Geldpreise für den ausgesetzt, der die Teiler findet)

    Die kleinste Fermatzahl, von der man noch nicht weiß ob sie prim oder zusammengesetzt ist, ist F33. Diese Zahl ist nämlich schon so riesig groß, dass wegen der enorm langen Rechenzeit bisher auch noch kein Primzahltest fertig geworden ist.

    Wie groß ist F33?

    Das ist »2 hoch (2 hoch 33) plus 1«. Den Teil »plus 1« kann man für die Größenabschätzung ruhig weglassen. Sehen wir uns »2 hoch (2 hoch 33)« an:

    Ich schreibe ab jetzt a^b statt »a hoch b«: Im Binärsystem schreibt man die Zahl 2^0 (dezimal 1) als »1«. 2^1 (dezimal 2) ist binär »10«. 2^2 (dezimal 4) ist »100«. Man erkannt das Muster: 2 hoch irgendwas ist eine Eins gefolgt von irgendwas Nullen.

    2^(2^33) ist also im Binärsystem eine Eins gefolgt von 2^33 Nullen. 2^33 ist aber immerhin 8.589.934.592, also knapp 8,59 Milliarden. 2^(2^33) ist als Binärzahl also fast 8,59 Milliarden Stellen lang.

    Wenn man nun eine Binärzahl in eine Dezimalzahl umwandelt, erkennt man, dass 10 Binärziffern ziemlich genau 3 Dezimalstellen ergeben (der genaue Längenumrechnungsfaktor ist der dekadische Logarithmus von 2, das ist 0,30103). Man muss also nur die 8,59 Milliarden mit 0,30103 multiplizieren und erhält (nach dem aufrunden auf die nächste ganze Zahl) genau: 2.585.827.974. Genau so viele Dezimalstellen hat F33, und F33 ist die kleinste Fermatzahl, die eine fermatsche Primzahl sein könnte.

    Also: Falls es außer 3, 5, 17, 257 und 65537 noch weitere fermatsche Primzahlen gibt, dann hat die nächste in dieser Reihe mindestens 2,58 Milliarden Dezimalstellen. Zu sagen sie habe »weit mehr als 1000 Dezimalstellen« ist zwar richtig, aber eben ordentlich tiefgestapelt.
  • Kommentar von Martin Massenhauser:
    (von Facebook dupliziert)
    Ich habe das sehr oft in meiner Ausbildung machen müssen XD
    das kann man mit jeden winkel machen
    egal wieviel grad
  • Antwort von Marcel Weidenbach:
    (von Facebook dupliziert)
    Allein mit Zirkel und Lineal? Wie hastes gemacht? :)
  • Antwort von Martin Massenhauser:
    (von Facebook dupliziert)
    mit lineal den winkel gezeichent
    willkürlichen radius genommen
    beim 0 punkt eingestochen
    linie gezogen
    mit dem zirkel so oft die line dann eingeteilt, bis der zirkel mit 3 schlägen paste
    bin gelernter isolierer, da braucht man oft, wenn man bögen oder schmiegen machen muss
  • Antwort von Martin Massenhauser:
    (von Facebook dupliziert)
    ist jetzt ein einfaches beispiel
    mir würde auch keine andere methode einfallen
  • Antwort von Stefan Duf:
    (von Facebook dupliziert)
    das nennt man aber "probieren" und nicht "konstruieren", sorry...
  • Antwort von Martin Massenhauser:
    (von Facebook dupliziert)
    von konstruieren war ja auch nie die rede
    aber da gabe es auch irgnedwie eine methode ohne "probieren"
    ist aber schon 5 jahre her, als ich das zuletzt gemacht habe.
    irgendwas mit zirkelschläge ect
  • Antwort von Oliver Franke:
    (von Facebook dupliziert)
    Es gibt Methoden, z.B. die nach Archimedes. Welche relativ einfach Verständlich ist.
  • Antwort der Redaktion:
    (von Facebook dupliziert)
    Archimedes bringt aber auf seinem Lineal Markierungen an um die Konstruktion zu ermöglichen. Das heißt, er braucht zusätzlich noch einen Stift oder ein Kerbmesser um die Konstruktion durchzuführen. Das widerspricht aber den klassischen Regeln für das Konstruieren mit Lineal und Zirkel.

    Es gibt sogar ein eigenes Gerät (den Tomahawk) mit dem man jeden Winkel in nur einem Arbeitsschritt in mathematisch genau drei Teile teilen kann. Aber ein Tomahawk und Markierungen auf dem Lineal sind eben keine erlaubten Geräte für Lineal&Zirkel-Konstruktionen.
  • Antwort von Oliver Franke:
    (von Facebook dupliziert)
    Wozu hat man den Zirkel? Der hat sowohl ne Spitze, als auch einen Graphitteil. Ich denke, das geht schon durch ;)
  • Antwort von Martin Massenhauser:
    (von Facebook dupliziert)
    oder man kann auch ritzen.
  • Kommentar von Fabian Leuschner:
    (von Facebook dupliziert)
    Auch das Problem dürfte sich mit dem Zirkel umgehen lassen, zumindest für bestimmte Winkel
  • Antwort der Redaktion:
    (von Facebook dupliziert)
    Stimmt. Für bestimmte Winkel. Im Beitrag ist aber nicht von bestimmten, sondern von beliebigen Winkeln die Rede. Und es geht eben nicht bei jedem beliebigen Winkel.
  • Kommentar von Julian Zalla:
    (von Facebook dupliziert)
    Ist mit Galoistheorie bzw. seinem Hauptsatz beweisbar :p Konstruierbarkeit ist nur bei Körpererweiterungen geraden Grades gegeben, was hier nicht der Fall ist
  • Antwort von Timmy Ritter:
    (von Facebook dupliziert)
    Ich hab grad mal meine alten Vorlesungen durchforstet. Genauer heißt es da in einem Satz: Ein Winkel a ist konstruierbar, wenn dies für cos(a) gilt. Dort wurde als Beweis der Behauptung oben mit a=20 mHv Galois die Nicht-Konstruierbarkeit gezeigt-->WInkel von 60° ist nicht "teilbar". (Machbar ist es aber zB bei Winkeln 180°/n (n nicht durch 3 teilbar) )
  • Antwort von Mine Frank:
    (von Facebook dupliziert)
    Ich würd so gern mit Dir "rumstreiten" ;o) kann es aber nicht. Ich frag mal meinen "Herrn Professor" Ich bin fast sicher, er wird Dir recht geben. Er wird mir das aufzeichnen, damit ich es verstehe. Lieben Dank für die konstruktiven Gedanken!!!!!
  • Kommentar von Mine Frank:
    (von Facebook dupliziert)
    Hä? Unlösbar? Jeder Winkel lässt sich durch 3 teilen. Was´n das für´n Quatsch?
  • Antwort von Timmy Ritter:
    (von Facebook dupliziert)
    Es geht dabei nicht darum, ob man es berechnen kann, sondern um die Konstruierbarkeit mit Zirkel&Lineal.
  • Antwort von Mine Frank:
    (von Facebook dupliziert)
    Ja geht doch auch...
  • Antwort von Stefan Duf:
    (von Facebook dupliziert)
    wie denn?
  • Antwort von Timmy Ritter:
    (von Facebook dupliziert)
    Es ist bewiesen, dass es nicht geht (siehe Galoistheorie - eher was für Mathe-"Freaks" :D ).
  • Antwort von Mine Frank:
    (von Facebook dupliziert)
    Bin ich im Moment überfordert... meld mich aber wieder, wenn ich meinen "Herrn Professor" noch mal kontaktiert habe.. Interessiert mich wirklich, warum das nicht gehen soll. Dennoch vielen Dank für Eure anderen Ansichten!
  • Antwort von Oliver Franke:
    (von Facebook dupliziert)
    Ohne eine genaue Einteilung hast du doch keine Anhaltspunkte. Ist doch genauso, als wenn ich dich einen Meter abschätzen lasse. Die Erfahrung sagt dir wie lang das in etwa ist, genau sagen kannst du es ohne Messgerät nicht. Und genauso ist es bei Winkeln. Man kann gewisse WInkel abschätzen bzw. sogar konstruieren. Aber ein beliebiger Winkel ist für dich nicht genau teilbar, es sei denn du kannst mit Winkelmesser bzw. einem Längenmaß und ein bisschen Trigonoetrie Abhilfe leisten.
  • Antwort von Mine Frank:
    (von Facebook dupliziert)
    Aber hier geht es doch um die Teilung mittels Zirkel und Lineal...Sprich, ich kann Messungen vornehmen...
  • Antwort von Oliver Franke:
    (von Facebook dupliziert)
    Du hast ja kein bemaßtes Lineal, sondern eben nur etwas womit du eine Gerade zeichnen kannst. ergo kannst du auch nichts messen. Das fehlt oben in der Beschreibung, ist aber die genaue Problemstellung.
  • Antwort von Mine Frank:
    (von Facebook dupliziert)
    Ach soooooooooooooooo... Danke Spatzi-Professor ;o) Jetzt versteh ich die Aufgabenstellung erst. Ja so ist mir das verständlich, dass es nicht funktioniert.
  • Kommentar von Fabian Leuschner:
    (von Facebook dupliziert)
    Danke Datenbank des nutzlosen Wissens für die komplette Info. Ich ging davon aus, dass die Aussage meint, die Übung sei für jeden Winkel unlösbar. Dass es Winkel gibt, für die sie unlösbar ist, leuchtet ein:)
  • Antwort der Redaktion:
    (von Facebook dupliziert)
    Im Beitrag ist aber laut und deutlich von einem »beliebigen« Winkel die Rede.

    Es gibt zwar einige bestimmte Winkel, bei denen die Konstruktion möglich ist (es gibt sogar unendlich viele solche Winkel), aber sie funktioniert eben nicht bei jedem beliebigen Winkel. Es gibt nämlich auch unendlich viele Winkel bei denen das nicht geht.

    Die Winkel, bei denen die Konstruktion möglich ist sind »abzählbar unendlich« viele, die Winkel bei denen es aber nicht geht sind »überabzählbar unendlich« viele. Das heißt: Das Verhältnis von konstruierbaren zu nichtkonstruierbaren Winkeln ist 1 zu unendlich.

    Anders formuliert: Wenn du zweimal hintereinander mit geschlossenen Augen ein Lineal auf ein Blatt Papier wirfst und beide Male dort wo es liegenbleibt eine Linie ziehst, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Winkel, den die beiden Linien bilden, mit Zirkel und Lineal in drei genau gleiche Teile geteilt werden kann, gleich 1 durch unendlich, also ziemlich genau 0.
  • Kommentar von Luk Kuba:
    (von Facebook dupliziert)
    "Unter der Dreiteilung des Winkels (auch: Trisektion des Winkels) versteht man in der Geometrie das Problem, ob man einen beliebigen Winkel nur mit Hilfe von Zirkel und Lineal (den euklidischen Werkzeugen) konstruktiv und präzise in drei gleich große Winkel unterteilen kann. Die Dreiteilung des Winkels gehört zu den drei klassischen Problemen der antiken Mathematik und ist nur für bestimmte Winkel durchführbar." -Vielleicht sollte man die Seite in "Gefährliches Halbwissen" umbenennen?
  • Antwort der Redaktion:
    (von Facebook dupliziert)
    Wo meinst du Halbwissen erkennen zu können?
  • Antwort von Luk Kuba:
    (von Facebook dupliziert)
    Naja, in Wirklichkeit ist die Aufgabe für einige Winkel durchführbar. Auf dieser Seite wird geschrieben sie wäre unlösbar, ohne darauf hinzuweisen, dass dies nicht für alle Winkel gilt.
  • Antwort von Timmy Ritter:
    (von Facebook dupliziert)
    Für bestimmte Winkel ist die Aufgabe auch lösbar, aber eben nicht für jeden beliebigen. ("beliebig": Per Zufall wird irgendein Winkel gewählt, für den die Aussage gelten soll - und da gibt es jede Menge, die nicht konstruierbar sind)
  • Antwort der Redaktion:
    (von Facebook dupliziert)
    @Ku Ba: Sorry, aber wenn du eine bestimmte Formulierung nicht verstehst (nämlich das Wort "beliebig"), dann ist kannst du dem, der diese Formulierung verwendet kein Halbwissen vorwerfen.

    Denn nicht der, der die Formulierung kennt und richtig verwendet, die derjenige der nur die Hälfte weiß, sondern der, der die Formulierung nicht kennt und/oder falsch versteht.
  • Antwort von Luk Kuba:
    (von Facebook dupliziert)
    Seit wenn bedeutet denn beliebig "per Zufall"? Aus dem Duden kann man noch eventuell "nach Gutdünken" anstelle von beliebig wählen. Beides bedeutet die Entscheidung liegt bei demjenigen, der wählt. Im Klartext: Ich kann einen beliebigen Winkel wählen.
  • Antwort von Luk Kuba:
    (von Facebook dupliziert)
    Wenn man es so auffasst wie ihr, müsste man schreiben: "...jedes beliebigen Winkels...".
  • Antwort von Luk Kuba:
    (von Facebook dupliziert)
    Nochmal aus dem Wiktionary rausgesucht für euch: beliebig Bedeutungen:
    [1] frei aus vorhandenen Möglichkeiten auswählbar.
  • Antwort von Stefan Duf:
    (von Facebook dupliziert)
    kannst denn nicht einfach zugeben, dass Du die "Aufgabe" versehentlich falsch verstanden hast?
  • Antwort von Luk Kuba:
    (von Facebook dupliziert)
    Ich habe sie verstanden, aber der Text ist falsch formuliert...
  • Kommentar von Henning Cts:
    (von Facebook dupliziert)
    Datenbank des nutzlosen Wissens danke das sich jemand Zeit nimmt die Missverständnisse immer zu klären =)
  • Kommentar von Simon Klein:
    (von Facebook dupliziert)
    Langform:
    Wenn man in der Mathematik eine Aussage über beliebige Winkel trifft, stimmt diese nur, wenn sie für jeden beliebigen Winkel zutrifft. Für bestimmte Winkel trifft sie zu, aber nicht für alle Winkel. Somit kann ich nicht mehr jeden beliebigen Winkel wählen, damit die Aussage stimmt. Demzufolge trifft sie nicht für beliebige Winkel zu, d. h. das Mathematische Problem der Trisektion ist für beliebige Winkel nicht lösbar.
    Die Formulierung ist mathematisch nicht ganz korrekt. Nicht für beliebige lösbar bedeutet nicht automatisch für beliebige unlösbar. Da es für bestimmte Winkel durchführbar ist, ist es nicht ,,für beliebige Winkel unlösbar'', sondern ,,nicht für beliebige Winkel lösbar''. Ich hoffe ich konnte Klarheit verschaffen.

    Kurzform:
    Für alle lösbar => für beliebige lösbar
    Nicht für alle lösbar => nicht für beliebige lösbar
    Für alle nicht lösbar => für beliebige unlösbar
  • Kommentar von Simon Klein:
    (von Facebook dupliziert)
    Ich habe mich verschrieben, es muss natürlich heißen: das mathematische Problem der Trisektion ist nicht für beliebige Winkel lösbar.
  • Kommentar von Luca Leonard Gililov:
    (von Facebook dupliziert)
    Es ist ein Kinderspiel, diese Aufgabe zu lösen.😊
 

Achtung, Spam-Falle:

Jede E-Mail, die an die Adresse Daniel Honigtopf <daniel.honigtopf@schoelnast.at> zugestellt wird, wird als unerwünschte Nachricht eingestuft. Die E-Mails, die dort einlangen, werden von niemandem gelesen. Sie dienen ausschließlich dazu, mein Spamfilter-Programm zu trainieren und werden anschließend gelöscht.

Ich gehe nämlich davon aus, dass diese E-Mail-Adresse von E-Mail-Harvestern gefunden wird, die diese Adresse dann an Spam-Versender weitergeben. Es ist also damit zu rechnen, dass bei dieser Adresse Spam-Mails (unerwünschte Nachrichten) eingehen werden. Wenn ich nun aber davon ausgehen kann, dass alles was hier landet ganz sicher Spam ist (weil dorthin niemals normale Mails geschickt werden), dann hilft das meinem Spamfilter-Programm sehr. Dann weiß es nämlich, dass E-Mails mit ähnlichem Inhalt, oder vom selben Absender, auch dann als Spam anzusehen sind, wenn sie an eine meiner »echten« E-Mail-Adressen zugestellt werden. Der Spamfilter bewertet diese E-Mails dann nämlich ebenfalls als unerwünscht und löscht sie sofort anstatt sie irgend jemandem zuzustellen. Auf diese Weise bleiben nicht nur meine eigenen echten E-Mail Konten schön sauber, sondern auch die meiner Kunden.

Sende also niemals E-Mails an diese Adresse, und auch nicht an Julia Honigtopf <julia.honigtopf@schoelnast.at> oder an Tobias Honigtopf <tobias.honigtopf@schoelnast.at>, denn diese Adressen sind das, was man in der IT-Welt als honeypot (deutsch: Honigtopf) bezeichnet. Wenn du trotzdem etwas dorthin schickst, riskierst du, dass ich alle anderen E-Mails, die von dir kommen, auch dann nicht erhalte, wenn du sie an die richtige Adresse schickst.

Vermeide auch, irgend etwas an laura.honigtopf@schoelnast.at oder an patrick.honigtopf@schoelnast.at zu schicken.



Hubert Schölnast
(Webmaster)

Wie du mich kontaktieren kannst, erfährst du hier: Kontaktseite